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Paraboloïde Hyperbolique
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Date d'inscription : 13/01/2006

MessageSujet: Groupe   Ven 14 Avr à 12:32

Un peu de théorie: la notion de groupe (très importante en physique).

Bon je me lance dans le formalisme, j'expliquerai plus intuitivement après.

Un ensemble G muni d'une opération binaire *: GxG -> G est appelé groupe si les axiomes suivants sont satisfaits:

(G1) Pour tout g, f appartenants à G, h=g*f appartient aussi à G

(G2) Pour tout g,f,h appartenants à G, (f*g)*h=f*(g*h)

(G3) Il existe e appartenant à G tel que quelque soit un f appartenant à G on ait: f*e=e*f=f

(G4) Pour tout f appartenant à G il existe un f' appartenant à G tel que f*f'=f'*f=e (le même qu'en (G3))

Si de plus, pour tous f, g appartenants à G on a: f*g=g*f on dit que le groupe G est commutatif ou abélien (les deux se disent).

Explications:
Pour fixer les idées prenons un exemple et considérons l'ensemble des entiers Z. Cet ensemble est muni d'une opération binaire, à savoir l'addition que l'on note + (et correspond au * ci-dessus, j'ai noté * pour plus de généralité, car ce n'est pas forcément une addition; ça peut-être une multiplication ou encore autre chose).

Pour ceux qui ne sont pas familiers avec la notation *:GxG -> G, cela signifie tout simplement que l'on prend deux éléments de l'ensemble G, on applique l'opération (l'addition dans le cas de Z) et cette opération redonne un élément de G. Exemple: 2+3=5, 2 et 3 appartiennent à Z et après addition, on retombe sur 5 qui appartient aussi à Z

Explication de (G1):
cet axiome signifie simplement que si on applique notre opération sur n'importe quel élément de G on doit obligatoirement retomber sur un élément de G. C'est le cas de Z: on peut additionner n'importe quel nombres de Z entre eux, on retombera toujours sur un nombre de Z. On dit alors que l'ensemble G (Z ici) est interne et partout défini.

Explication de (G2):
Il s'agit simplement de l'associativité. Je pense que vous connaissez déjà.

Explication de (G3):
Cet axiome signifie simplement qu'il existe un élément de G qui est neutre. Exemple dans Z, le neutre est 0. En effet: 5+0=0+5=5 (c'est le cas pour tout autre nombre de Z aussi). Exercice: montrez que G n'admet qu'un seul neutre (que celui-ci est unique). Tout est dans le formalisme ci-dessus.

Explication de (G4):
Cet axiome signifie qu'à tout élément de G est associé un opposé tel que l'opération * sur cet deux éléments redonne le neutre. Exemple: avec Z l'opposé de 5 est -5, en effet: 5+(-5)=0. Exercice: prouvez qu'à chaque élément de G est associé un et un seul opposé.

Explication de (G5):
Comme dit, il s'agit de la commutativité. Dans le cas de Z: 3+5=8=5+3 (Mais il existe des groupes non-commutatifs, comme l'ensemble des matrices).

Donc Z est un groupe. (En fait il est plus que ça, je l'expliquerai peut-être plus tard dans un autre post).

Maintenant, une application de ce formalisme dans la vie courante: l'ensemble de nos déplacements est un groupe!
Preuve:

(G1) Si on fait un pas, puis un autre pas (dans n'importes quelles directions) alors il existe un pas qui permet de faire le même déplacement.

(G2) Faire 3 pas quelconques dans l'ordre pas1+(pas2+pas3) revient au même qu'à l'ordre (pas1+pas2)+pas3

(G3) Le neutre est évidemment le pas de longueur nulle (on ne bouge pas). Remarque: ce formalisme sur les groupes nous indique déjà qu'il n'y a pas d'autres moyens de rester sur place que de faire un pas de longueur nulle! (Ce n'est donc pas la peine de chercher d'autres moyens de "rester sur place")

(G4) l'opposé à un pas donné est évidemment le pas dans la même direction et de sens opposé (et de même longueur). Remarque: ce formalisme nous indique aussi que si on fait un pas donné et que l'on souhaite revenir à sa position de départ (en un pas) il n'existe qu'un pas pour le faire!

Enfin, l'ensemble des déplacements est commutatif. Faire pas1+pas2 ou pas2+pas1 nous conduit au même endroit en partant du même point de départ.

La preuve est donc faite que nos déplacements constituent un groupe.
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Paraboloïde Hyperbolique
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MessageSujet: Re: Groupe   Mer 26 Avr à 5:46

Bon, puisque personne ne semble s'intéresser aux groupes (je sais que ça semble rébarbatif comme ça, mais vous ne savez pas ce que vous ratez).


Le neutre est unique, en effet:

Supposons par l'absurde que le groupe G admette deux neutres e et e'.
Alors e+e'=e'+e=e, puisque e' est neutre.

D'un autre côté: e+e'=e'+e=e', puisque e est neutre.

Donc e+e'=e=e', le neutre est unique cqfd.


Chaque élément d'un groupe admet un unique inverse, en effet:

Supposons par l'absurde que un élément quelconque d'un groupe G (mettons g) admette deux inverses h et f
Alors g+h=h+g=e et g+f=f+g=e (où e est l'unique neutre, on vient de le montrer).

Donc g+h=g+f=h+g=f+g donc f=h (nous sommes dans la situation où a+x=a+y Cette équation est satisfaite si et seulement si x=y).
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